Внимание, в тексте вопроса мы дважды пропустили одни и те же три слова.
В девятнадцатом веке для решения одной городской проблемы власти Вильнюса распорядились, чтобы горожане носили собственные. Таким образом, в Вильнюсе можно было легко увидеть ПРОПУСК. Кто искал ПРОПУСК?
Диоген [Синопский].
В то время в Вильнюсе городских фонарей не хватало, поэтому горожане должны были носить свои собственные. Пропущенные слова — "человека с фонарем". В первом случае можно было увидеть человека с фонарем, т.е.
человека, несущего фонарь. А Диоген искал "человека с фонарем", т.е. с помощью фонаря.