Происхождение этого русского слова никак не связано ни с "воздержанием на определенный срок от скоромной пищи", ни с просторечным обозначением человеческого рта. Всё дело в самой технологии производства продукта — высушивании на солнце. О каком же продукте идет речь?
Пастила.
Слово "пастила" происходит от глагола "постелить" (яблочную массу стелили тонким слоем и сушили на солнце). Ни "пост", ни "пасть" тут ни при чем.